Materi Grupoida,semigrap, monoid dan grup

Nama: Isna Dwi Yulianti

Nim: 60600113018

A.    Pengertian

       Struktur Aljabara dalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu oprasi biner*, maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua operasi biner* dan 0; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,0) atau (S,0,*). Struktur Aljabar yang paling sederhana adalah grupoida.

Definisi 1.1

1.1.1 Grupoid

Grupoid yaitu suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner (terhadap penjumlahan atau perkalian).

1.1.2 Syarat Grupoid :

(G, *) disebut grupoid jika memenuhi aksioma 1.

1.   (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

1.1.3 Contoh Soal Grupoid:

Himpunan dengan operasi penjumlahan.

Diketahui :

Himpunan bilangan bulat Z = (.., -2,-1,0, 1, 2,..) terdapat operasi binner penjumlahan (+).

Penyelesaian :

a,b ∈ Z → a + b ∈ Z

               = 4 + 2∈ Z

               = 6∈ Z (tertutup)

Maka, penjumlahan himpunan bilangan tersebut dikatakan grupoid karena mempunyai syarat tertutup.

Dalam pengoperasian pembagian pada bilangan cacah hal ini tidak berlaku, karena tidak memenuhi syarat grupoid, yaitu tertutup.

Definisi 2.2

2.2.1 Semigrup

Semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner. Semigrup merupakan grupoid yang memenuhi syarat assosiatif.

2.2.2 Syarat Semigrup :

(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1 dan 2, yaitu:

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

2.      (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G, a*(b*c) = (a*b)*c

2.2.3 Contoh Soal Semigrup :

Selidikilah (W,+)

Penyelesaian :

W = { 0,1,2,3,..)

a, b ∈ W → a + b ∈ W

               = 3 + 2 ∈ W

               = 5 ∈ W  (tertutup)

a, b, c ∈ W → (a + b ) + c = a + (b + c ) ∈ W

                           (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)

                                       6 = 6  (assosiatif)

Maka, terbukti bahwa himpunan bilangan cacah merupakan semigrup karena memenuhi syarat tertutup dan assosiatif.

2.2.4 Contoh Soal Semigrup

Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley

sebagai berikut :

Tabel 2.1.

Daftar Cayley suatu grupoid

*	A	B	c	d
A	B	C	d	a
B	C	D	a	b
C	D	A	b	c
D	A	B	c	d

Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.

Penyelesaian :

Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.

Misalkan x = a, y = a dan z = a

(x . y) . z = (a . a) . a

            = b . a

            = d

x . (y . z) = a . (a . a)

            = a . b

            = c

didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c

sehingga (x . y) . z ≠x . (y . z)

Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.

Definisi 2.3

2.3.1 Semigrup Abel

Semigrup Abel adalahsemigrup yang memenuhi syarat komutatif.

2.3.2 Syarat Semigrup Abel

(G, *) disebut semigrupjika memenuhi Aksioma 1 , 2, dan 5 yaitu :

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

2.      (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c  G, a*(b*c) = (a*b)*c

3.      (Komutatif) Untuk setiap a, b  G, a*b = b*a

2.3.3 Contoh Soal  Semigrup Abel :

Selidikililah (W, + )

Penyelesaian :

a, b  W  a + b  W

               = 2 +6  W

               = 8  W  (tertutup)

a, b, c  W (a + b) + c = a + (b + c)  W

                           (2+6) +3 = 2 + (6+3)  W

                                       11 = 11  (assosiatif)

a, b  W  a + b = b +a   W

               2 + 6 = 6 + 2

                         8 = 8  (komutatif)

Maka (W, + )adalah semigroup abel

Definisi 2.4

2.4.1 Monoid

Monoid suatu struktur aljabar dengan tiga operasi binner, dikatakan monoid apabila suatu semigrup memenuhi unsur satuan atau identitas.

2.4.2 Syarat Monoid :

(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1 , 2 dan 3, yaitu :

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

2.      (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G,( a*b)*c = a*(b*c)

3.      (Unsur Identitas)Ada e ∈ G sehingga untuk setiap a ∈ G, a*e = e*a=a

Dengan kata lain unsur satuan atau identitas terhadap operasi penjumlahan adalah nol (0) dan pada operasi perkalian adalah (1).

2.4.3 Contoh Soal Monoid :

Himpunan bilangan bulat Z = {.., -2,-1,0, 1, 2,..}

terdapat operasi binner perkalian (*).

Penyelesaian :

a,b ∈ Z → a*b ∈ Z

               = 4*2 ∈ Z

               = 8∈ Z (tertutup)

a, b, c ∈ Z →(a*b)*c = a*(b*c)∈ Z

                           (4*2)*1 = 4*(2*1) ∈ Z

                                       8 = 8  ∈ Z  (assosiatif)

a, e  ∈  Z →a*e = e*a = a ∈  Z

               4*1 =1*4 = 4  ∈  Z  (unsuridentitas)

Definisi 2.5

2.5.1 Monoid Abel

Monoid Abel adalahMonoid yang memenuhi syaratkomutatif.

2.5.2 Syarat Monoid Abel

(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1 , 2, 3 dan 5 yaitu :

1.    (Tertutup) Untuk setiap a,b  ∈  G, a * b  ∈  G                 

2.    (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c  ∈  G,( a*b)*c = a*(b*c)

3.    (Unsur Identitas) Ada e  ∈  G sehingga untuk setiap a  ∈  G, a*e = e*a = a

4.    (Komutatif) Untuk setiap a, b  G, a*b = b*a

Dengan kata lain unsur satuan atau identitas terhadap operasi penjumlahan adalah nol (0) dan pada operasi perkalian adalah (1).

2.5.3 Contoh Soal Monoid Abel :

Selidikilah( Z,*)

Penyelesaian :

a, b  Z  a* b  Z

         5*2 = 10  ∈  Z   (tertutup)

a, b, c  Z (a* b)* c = a* (b* c) Z

               (5*2)*1 = 5*(2*1)  ∈  Z

               10 = 10  (assosiatif)

e Z  a*e = e*a = a

               5*1 = 1*5 = 5  (unsuridentitas)

a, b  Z  a + b = b + a   Z

               5 + 2 = 2 + 5

               7 = 7  (komutatif)

Maka (Z,*) adalah Monoid abel

Definisi 2.6

2.6.1 Grup

Suatu himpunan tidak kosong, G dengan oprasi biner(*) didalamnya, disebutrupoid dan dinyatakan dengan (G,*). Oprasi biner pada G adalah suatu pemetaan o :G x G →G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi o, dinotifikasikan (G,o), jika untuk semua a,b,c ∈ G.

2.6.2 Syarat Grup

1.      Sifar ketetapan a o b ∈ G.

2.      Sifat asosoatif (a o b) o c = a o ( b o c).

3.      Eksistensi elemen identitas terhadap c ∈ G sehingga a o c = c o a = a.

4.      Eksistensi elemen invers terdapat a^-1∈ G sehingga a o a^-1= o a =c.

Dalam hal ini a^-1disebut invers dari a.

Untuk lebih lanjut, jika semua a, b ∈ G berlaku a o b = b o a maka (G,o) disebut grup komutatif atau grup abelion.

2.6.3 Cintoh Grup

Perhatikan himpunan fungsi linear

L = { f : R →R│ f (x)= ax + b, a ≠ 0}.

Penyelesaian:

Kita akan memeriksa apakah L suatu grup terhadap operasi komposisi.

Misalkan f = ax + b, g =cx + d, h = ex + f dengan a, c, e semua tidak nol.

  i.      Jelas bahwa f o g = (ac)x + (ad + b) ∈ L.

ii.      Perhatikan bahwa kita mempunyai,

(f o g) o h = (ac)x + (ad + b)

=(ace)x + (acf + ad + d)

Sementara itu g o h = (ce)x + (cƒ + d), sehingga

            ƒ o (g o h) = a(cex +cƒ + d) + b

=(ace)x + (acƒ +ad + d)

Dengan demikian oprasi komposisi bersifat asosiatif.

iii.      Perhatikan ί = x ∈ L, kita mempunyai ƒ o ί = ƒ = ί  o ƒ. Jadi ί = x sebagai elemen identitas di L.

iv.      Terakhir, perhatikan bahwa ƒ^ʹ =  memenuhi ƒ o ƒ^ʹ  =  ί  =ƒ^ʹ o ƒ.

Dengan demikian kita telah membuktikan bahwa(L, o) suatu grup. Jika kita ambil ƒ = 2x + 1, g =  x - 2 kita dapatkan ƒ o g = 2x -3  sementara g o ƒ = 2r – 1. Semua ini cukup bagi kita untuk mengatakanbahwa grup (L,o) tidak komutatif.